Question

11．如图，∠ABC=45°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，顶点A、D分别在∠ABC的两边BA、BC上滑动（不与点B重合），△ADE的外接圆交BC于点F，点D在点F的右侧，O为圆心．
（1）求证：△ABD≌△AFE
（2）若AB=4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$＜BE≤4$\sqrt{13}$，求⊙O的面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形得∠ADE=45°，则∠ABD=∠AFE，再利用同弧所对的圆周角相等可知：∠AEF=∠ADB，根据AAS证明△ABD≌△AFE；
（2）由全等可知：BD=EF，∠EAF=∠BAD，因此设BD=x，则EF=x，根据等式的性质得∠BAF=∠EAD=90°，则△ABF是等腰直角三角形，计算得BF=8，则DF=x-8，根据勾股定理得BE²=EF²+BF²，求出x的取值为8＜x≤12，同时由圆的面积公式计算得：S=$\frac{π}{2}$（x-4）²+8π，根据二次函数的增减性得出：16π＜S≤40π．

解答 解：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，
∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°，
∵$\widehat{AE}=\widehat{AE}$，
∴∠ADE=∠AFE=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠AFE，
∵$\widehat{AF}=\widehat{AF}$，
∴∠AEF=∠ADB，
∵AF=AF，
∴△ABD≌△AFE；
（2）∵△ABD≌△AFE，
∴BD=EF，∠EAF=∠BAD，
∴∠BAF=∠EAD=90°，
∵$AB=4\sqrt{2}$，
∴BF=$\frac{AB}{cos∠ABF}$=$\frac{4\sqrt{2}}{cos45°}$=8，
设BD=x，则EF=x，DF=x-8，
∵BE²=EF²+BF²，$8\sqrt{2}$＜BE≤$4\sqrt{13}$，
∴128＜EF²+8²≤208，
∴8＜EF≤12，即8＜x≤12，
则$S=\frac{π}{4}D{E^2}=\frac{π}{4}[{{x^2}+{{（x-8）}^2}}]=\frac{π}{2}{（x-4）^2}+8π$，
∵$\frac{π}{2}$＞0，
∴抛物线的开口向上，
又∵对称轴为直线x=4，
∴当8＜x≤12时，S随x的增大而增大，
∴16π＜S≤40π．

点评 本题是圆的综合题，综合考查了等腰直角三角形、三角函数和二次函数及圆的性质；本题要想求出圆面积的取值，从圆的面积公式入手，知道圆的面积与直径DE有关，因此可设DE或与DE有关系的边为x，根据等量关系列式得一函数，再利用该函数的最值问题求出结论．