Question

19．已知：关于x的方程x²+kx-2=0，
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）设x₁，x₂是方程的两根，且满足（x₁-1）（x₂-1）=k²-k，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据跟的判别式△=b²-4ac来确定方程的根的情况；
（2）由根与系数的关系x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$、x₁x₂=$\frac{c}{a}$，代入得出关于k的方程，解方程来求k的值．

解答 解：（1）△=k²-4×1×（-2）=k²+8，
∵k²≥0，
∴k²+8＞0，即△＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵设x₁，x₂是方程x²+kx-2=0的两根，
∴x₁+x₂=-k，x₁x₂=-2，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-2+k+1=k²-k
解得：k₁=k₂=1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．