Question

19．已知：Rt△ABD与△CBD位于BD的两侧（如图1），且∠ABD=90°，∠ADB=30°，AD=8，∠BCD=90°，∠BDC=45°，点O在AD边上，连接BO沿直线BO翻折△ABO至△A′BO．
（1）如图2，当点A′落在BC边上，求∠OBD的度数；
（2）如图3，当点A′落在AD边上，连接A′C，求证：A′C∥AB．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和得到∠DAB=60°，∠CBD=45°，于是得到∠ABC=135°，根据折叠的性质得到AB=A′B，AA′⊥BO，于是求得∠ABO=$\frac{1}{2}∠$ABC=67.5°，即可得到结论；
（2）根据折叠的性质得到AB=A′B，AA′⊥BO，AO=A′O，推出△AA′B是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AA′=AB，根据直角三角形的性质得到AB=AA′=$\frac{1}{2}$AD=4，求出A′B=A′D，于是得到A′C⊥BD，根据平行线的判定定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ABD=90°，∠ADB=30°，
∴∠DAB=60°，
∵∠BCD=90°，∠BDC=45°，
∴∠CBD=45°，
∴∠ABC=135°，
∵沿直线BO翻折△ABO至△A′BO，
∴AB=A′B，AA′⊥BO，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}∠$ABC=67.5°，
∴∠OBD=∠ABD-∠ABO=22.5°；

（2）∵沿直线BO翻折△ABO至△A′BO，
∴AB=A′B，AA′⊥BO，AO=A′O，
∵∠A=60°，
∴△AA′B是等边三角形，
∴AA′=AB，
∵∠ABD=90°，∠ADB=30°，
∴AB=AA′=$\frac{1}{2}$AD=4，
∴A′D=4，
∴A′B=A′D，
∵BC=DC，
∴A′C⊥BD，
∵AB⊥BD，
∴A′C∥AB．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．