Question

9．已知如图，?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，FG⊥AE于G，EH⊥AF于H．连接AC、EF、AM，AC=20，EF=16．
（1）求证：EC=MF．
（2）求AM的长．

Answer 1

分析 （1）过点C作CN⊥AD交AD于点N，连接EN、FN，证出CN∥AE，四边形AECN是矩形，得出AE=NC，EN=AC=a，证出EM∥CF，得出∠AEM=∠NCF，四边形EMFC是平行四边形，得出EM=CF，EC=MF即可；
（2）由SAS证明△AEM≌△NCF，得出AM=NF，∠EAM=∠CNF，证出AM∥NF，得出NF⊥EF，由勾股定理求出NF，即可得出AM的长．

解答 （1）过点C作CN⊥AD交AD于点N，连接EN、FN，如图所示：
∵AE⊥BC于点E，
∴CN∥AE，
又∵?ABCD的边AD∥BC，AE⊥BC
∴四边形AECN是矩形，
∴AE=NC，EN=AC=a，
∵EM⊥AF，AF⊥CD，
∴EM∥CF，
∴∠AEM=∠NCF，四边形EMFC是平行四边形，
∴EM=CF，EC=MF；
（2）解：在△AEM和△NCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=NC}&{\;}\\{∠AEM=}&{∠NCF}\\{EM=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△NCF（SAS），
∴AM=NF，∠EAM=∠CNF，
∵∠EAN=∠CND=90°，
∴∠MAN=∠FND，
∴AM∥NF，
∵△AEF的两条高相交于M，
∴AM⊥EF，
∴NF⊥EF，
在Rt△EFN中，NF=$\sqrt{E{N}^{2}-E{F}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$=12，
∴AM=12．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．