Question

1．已知2x+y=1．求x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值是$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 当y=0时，x=$\frac{1}{2}$，可求得代数式的值，当y≠0时，x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＞x+|x|≥0，即x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＞0，设x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=k，通过变形可得到$\sqrt{{x}^{2}+（1-2x）^{2}}$=k-x，然后两边同时平方可得到关于x的方程，然后依据一元二次方程根的判别式可求得k的取值范围，从而可求得代数式的最小值．

解答 解：当y=0时，x=$\frac{1}{2}$，则x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
当y≠0时，x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＞x+|x|≥0，即x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＞0，
设x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=k（k＞0），则$\sqrt{{x}^{2}+（1-2x）^{2}}$=k-x，
∴x²+（1-2x）²=（k-x）²，
整理得：4x²+（2k-4）x+1-k²=0，
∵△=b²-4ac≥0，
∴（2k-4）²-4×4（1-k²）≥0，整理得：4k（5k-4）≥0．
∵k＞0，
∴5k-4≥0，
解得：k≥$\frac{4}{5}$．
所以x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值是$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查的是无理函数的最值问题，依据题意得到关于x的一元二次方程，并依据一元二次方程根的判别式列出关于k的不等式是解题的关键．