Question

如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．
（1）利用尺规作出AC的垂直平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设AC的垂直平分线分别与AB、AC、CD交于点E、O、F，求证：OE=OF．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,作图—基本作图

专题：

分析：（1）如图可得AC的垂直平分线；
（2）由根据作图知，PQ是AC的垂直平分线，又由四边形ABCD是平行四边形，易证得△AOE≌△COF，继而证得结论．

解答：解：（1）如图：

（2）证明：根据作图知，PQ是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，且EF⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，

∠OAE=∠OCF OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．

点评：此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质与作法以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．