Question

3．如图，D是△ABC的外接圆上的一点，AB=AC，M是BC的中点，AC与BD交于E，I是△EDC的角平分线的交点，△EIC的外接圆与BD交于点F，AH⊥BD于点H，连接CF，MH．
求证：FC⊥MH．

Answer 1

分析 如图，延长AM交△ABC的外接圆于N，连接ID、IF、IC、EI、DN．首先证明D、I、N共线，HM∥DN，再证明DN⊥CF即可解决问题．

解答 证明：如图，延长AM交△ABC的外接圆于N，连接ID、IF、IC、EI、DN．

∵AB=AC，BM=CM，
∴∠NAB=∠NAC，AM⊥BC，
∴$\widehat{BN}$=$\widehat{CN}$，
∴∠BDN=∠CDN，
∵∠IDE=∠IDC，
∴D、I、N共线，
∵AH⊥BD，
∴∠AHB=∠AMB=90°，
∴A、B、M、H四点共圆，
∴∠BAM=∠BHM，
∵∠BAN=∠BDN，
∴∠BHM=∠BDN，
∴HM∥DN，
∵∠EFI=∠ECI=∠ICD，∠IDF=∠IDC，
在△IDF和△IDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠IDF=∠IDC}\\{∠IFD=∠ICD}\\{DI=DI}\end{array}\right.$，
∴△IDF≌△IDC，
∴△IDF≌△IDC，
∴IF=IC，DF=DC，
∴DN⊥CF，∵HM⊥DN，
∴HM⊥CF．

点评 本题考查三角形外接圆与外心、三角形的内接圆与内心、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．