Question

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，∠BAD=45°，AC=3，BD=5，求AB的长．

Answer 1

分析 根据等积法可以得到AB与DE的关系，从而可以求得AB的长，由AB是斜边，AB的长大于BC和AC的长，从而可以得到AB的长．

解答 解：作DE⊥AB于点E，如右图所示，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
设DE=a，
∵AC=3，BD=5，
∴$\frac{AB•DE}{2}=\frac{BD•AC}{2}$，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}=\sqrt{25-{a}^{2}}$，
∴AB=$\frac{15}{a}$，AB=AE+BE=a+$\sqrt{25-{a}^{2}}$，
∴$\frac{15}{a}=a+\sqrt{25-{a}^{2}}$，
解得，a=$\sqrt{5}$或a=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴AB=a+$\sqrt{25-{a}^{2}}$=$\sqrt{5}+\sqrt{25-5}=\sqrt{5}+\sqrt{20}=3\sqrt{5}$或AB=a+$\sqrt{25-{a}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}+\sqrt{25-\frac{45}{2}}$=$\sqrt{10}$＜5=BD（舍去），
即AB的长是$3\sqrt{5}$．

点评 本题考查勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，注意AB是斜边，最长的．