Question

12．小颖同学在手工制作中，把一个圆形的纸片贴到边长为12cm的等边三角形纸片上，若三角形的三条边恰好都与圆相切，则圆的半径为2$\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 如图，⊙O为等边△ABC的内切圆，作OD⊥BC于D，连结OB，根据切线的性质得OD为⊙O的半径，再利用等边三角形内心的性质得到OB平分∠ABC，OD垂直平分OD，则∠OBD=30°，BD=CD=6，然后根据正切的定义计算OD即可．

解答 解：如图，⊙O为等边△ABC的内切圆，
作OD⊥BC于D，连结OB，则OD为⊙O的半径，
∵点O为△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OD垂直平分OD，
∴∠OBD=30°，BD=CD=6，
在Rt△OBD中，∵tan∠OBD=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×6=2$\sqrt{3}$，
即圆的半径为2$\sqrt{3}$cm．
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，则作垂线段得到半径．也考查了等边三角形的性质．