Question

16．四边形ABCD为矩形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E．

（1）如图1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于点F，求证：AF=BF+EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，AG=$\sqrt{5}$BG，求$\frac{GC}{EC}$；
（3）如图3，连接EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，则CE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）只要证明△AED≌△BFA即可解决问题；
（2）如图2中，延长AG，交DC延长线于F．由△ABG≌△FCG，推出AB=FC=CD，在Rt△DEF中，C为斜边DF的中点，推出EC=CD=CF，由此即可解决问题；
（3）过C作CM⊥DE于M，过C作CN⊥AG延长线于N，易知四边形ENCM为矩形，只要证明四边形ENCM为正方形，又DM=GN，设DM=GN=x，则EM=2-x，EN=1+x，根据EM=EN，可得2-x=1+x，求出x即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD为矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，又DE⊥AG，BF∥DE，
∴∠AED=∠AFB=90°，∠DAE=∠ABF，
∴△AED≌△BFA，
∴AF=ED，AE=BF，
∴AF=BF+EF．

（2）如图2中，延长AG，交DC延长线于F．

∵AG=$\sqrt{5}$BG，设BG=t，则AG=$\sqrt{5}$t，
在Rt△ABG中，AB=$\sqrt{A{G}^{2}-B{G}^{2}}$=2t，
∴G为BC的中点，则△ABG≌△FCG，
∴AB=FC=CD，又DE⊥AG，
在Rt△DEF中，C为斜边DF的中点，
∴EC=CD=CF，
∴$\frac{GC}{EC}$=$\frac{GC}{BC}$=$\frac{1}{2}$．

（3）过C作CM⊥DE于M，过C作CN⊥AG延长线于N，易知四边形ENCM为矩形，

∵∠GCD=∠NCM=90°，
∴∠MCD=∠NCG，
∵CG=CD，∠CMD=∠N=90°，
∴△CMD≌△CNG，
∴CM=CN，
∴矩形ENCM为正方形，又DM=GN，设DM=GN=x，则EM=2-x，EN=1+x，
∵EM=EN，
∴2-x=1+x，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴EM=$\frac{3}{2}$，
∴EC=$\sqrt{2}$EM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．