Question

8．已知直线l：y=kx（k＜0），将直线y=kx沿y轴向下平移m（m＞0）个单位得到直线y=kx-m，平移后的直线与抛物线y=ax²相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，抛物线y=ax²经过点P（6，-9）．
（1）求a的值；
（2）如图1，当∠AOB＜90°时，求m的取值范围；
（3）如图2，将抛物线y=ax²向右平移一个单位，再向上平移n个单位（n＞0）．若第一象限的抛物线上存在点M，N两点，且M，N两点关于直线y=x轴对称，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点P（6，-9）的坐标代入y=ax²，即可求出a的值；
（2）将y=kx-m代入y=-$\frac{1}{4}$x²，得$\frac{1}{4}$x²+kx-m=0，根据二次函数图象上点的坐标特征以及根与系数的关系得出y₁=-$\frac{1}{4}$x₁²，y₂=-$\frac{1}{4}$x₂²，x₁•x₂=-4m，那么y₁•y₂=m²．当∠AOB=90°时，如图1，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．证明△AOM∽△OBN，根据相似三角形对应边成比例得出y₁•y₂=-x₁•x₂，依此列出关于m的方程，求出m的值，进而得出当∠AOB＜90°时，m的取值范围；
（3）根据轴对称的性质得出直线y=x是线段MN的垂直平分线，如图2，设直线MN的解析式为y=-x+b，与平移后的抛物线y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+n交于M、N两点，交x轴于E点，分别过M，N作y轴、x轴垂线，垂足分别为G、H，设M（m₁，n₁），N（m₂，n₂）．利用AAS证明△OMG≌△ONH，得出MG=HN，即MG=HE．将y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+n代入y=-x+b得：$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{4}$+b-n=0，由根与系数的关系得m₁+m₂=6，则b=6，那么$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{25}{4}$-n=0，再根据△＞0以及M，N在第一象限分别列出不等式，进而求出n的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²经过点P（6，-9），
∴36a=-9，
解得a=-$\frac{1}{4}$；                                         

（2）将y=kx-m代入y=-$\frac{1}{4}$x²，得$\frac{1}{4}$x²+kx-m=0，
∵y=kx-m与抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
∴y₁=-$\frac{1}{4}$x₁²，y₂=-$\frac{1}{4}$x₂²，x₁•x₂=-4m，
∴y₁•y₂=（-$\frac{1}{4}$x₁²）•（-$\frac{1}{4}$x₂²）=$\frac{1}{16}$•（-4m）²=m²．
当∠AOB=90°时，如图1，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．
在△AOM与△OBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMA=∠BNO=90°}\\{∠OAM=∠BON=90°-∠AOM}\end{array}\right.$，
∴△AOM∽△OBN，
∴$\frac{OM}{BN}$=$\frac{AM}{ON}$，即$\frac{-{x}_{1}}{-{y}_{2}}$=$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{2}}$，
∴y₁•y₂=-x₁•x₂，
∴m²=4m，
∵m＞0，
∴m=4，
∴当∠AOB＜90°时，m＞4；

（3）∵M，N两点关于直线y=x轴对称，
∴直线y=x是线段MN的垂直平分线，
∴直线MN的斜率为-1，OM=ON，
∴∠MOP=∠NOP，
∵∠GOP=∠HOP=45°，
∴∠GOM=∠HON．
如图2，设直线MN的解析式为y=-x+b，与平移后的抛物线y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+n交于M、N两点，交x轴于E点．分别过M，N作y轴、x轴垂线，垂足分别为G、H，
设M（m₁，n₁），N（m₂，n₂），直线MN与直线y=x交于点P．
在△OMG与△ONH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GOM=∠HON}\\{∠OGM=∠OHN}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMG≌△ONH，
∴MG=HN，即MG=HE．
将y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+n代入y=-x+b得：$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{4}$+b-n=0，
由根与系数的关系得m₁+m₂=6，
∵OE=HE+OH=MG+OH=m₁+m₂=6，
∴b=6．
即$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{25}{4}$-n=0，
∵△＞0，
∴（-$\frac{3}{2}$）²-4×$\frac{1}{4}$×（$\frac{25}{4}$-n）＞0，
解得n＞4．
又M，N在第一象限，
∴m₁•m₂=4（$\frac{25}{4}$-n）＞0，
解得n＜$\frac{25}{4}$，
∴n的取值范围是4＜n＜$\frac{25}{4}$．

点评 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，相似三角形、全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，互相垂直的两直线斜率之积为-1的性质，解析式平移的规律，根的判别式等知识，综合性较强，有一定难度．利用数形结合、准确作出辅助线是解题的关键．