在矩形AOBC中.OB=4.OA=3.分别以OB.OA所在直线为x轴和y轴.建立如图所示的平面直角坐标系xOy.F是边BC上的一个动点.过点F的反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与边AC交于点E.连接OE.OF．(1)若CF=2BF.求△EOF的面积,(2)求tan∠EFC的值,(3)是否存在这样的点F.使得△CEF沿EF折叠后.点C恰好落在OB上?若存在.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与边AC交于点E，连接OE，OF．
（1）若CF=2BF，求△EOF的面积；
（2）求tan∠EFC的值；
（3）是否存在这样的点F，使得△CEF沿EF折叠后，点C恰好落在OB上？若存在，求出反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数表达式；若不存在，请说明理由．

分析（1）先根据条件求出点F坐标，即可求出反比例函数解析式，再用面积的差即可确定出结论；
（2）设出点F坐标，进而表示出CF，EC即可得出结论；
（3）先作出辅助线判断出Rt△MED∽Rt△BDF，再确定出点E，F坐标进而ED=4-$\frac{k}{3}$，DF=3-$\frac{k}{4}$，求出BD，最后用勾股定理建立方程求出k即可得出结论．

解答解：（1）在矩形AOBC中，BC=OA=3，OB=4，
∵CF=2BF，
∴BC=CF+BF=3BF=3，
∴BF=1，
∴F（4，1），
∵F在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
∴k=4，
∴E（$\frac{4}{3}$，3），
∴S_△EOF=S_矩形OACB-S_△OAE-S_△OBF-S_△CEF
=4×3-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$×4×1-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{3}$
=$\frac{16}{3}$；
（2）设点F（4，a），
∴k=4a，
∴E（$\frac{4}{3}$a，3），
∴CF=3-a，EC=4-$\frac{4}{3}$a=$\frac{4（3-a）}{3}$，
在Rt△ECF中，tan∠EFC=$\frac{EC}{FC}$=$\frac{\frac{4（3-a）}{3}}{3-a}$=$\frac{4}{3}$；
（3）如图，

设将△CEF沿EF折叠后，点C恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF=∠C=90°，EC=ED，CF=DF，
∴∠MDE+FDB=90°，
过点E作EM⊥OB，
∴∠MDE+∠MED=90°，
∴∠MED=∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF，
∴$\frac{EM}{DB}=\frac{ED}{DF}$，
∵点E（$\frac{k}{3}$，3），F（4，$\frac{k}{4}$），
∴EC=AC-AE=4-$\frac{k}{3}$，CF=BC-BF=3-$\frac{k}{4}$，
∴ED=4-$\frac{k}{3}$，DF=3-$\frac{k}{4}$，
∵EM=3，
∴$\frac{3}{DB}=\frac{4-\frac{k}{3}}{3-\frac{k}{4}}$，
∴DB=$\frac{9}{4}$，
在Rt△DBF中，DF²=DB²+BF²，
即：（3-$\frac{k}{4}$）²=（$\frac{9}{4}$）²+（$\frac{k}{4}$）²，
∴k=$\frac{21}{8}$，
∴反比例函数表达式为y=$\frac{21}{8x}$．此时F（4，$\frac{21}{32}$）．