题目内容
2．
如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（-3，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）求证：△BAP≌△PQD
（2）求：∠EBP的度数与点D的坐标 （用含t的代数式表示）；
（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
分析 （1）由题可得：AP=OQ=1×t=t得到AO=PQ，根据正方形的性质得到AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°，由垂直的定义得到∠BPD=90°，根据余角的性质得到∠BPA=∠PDQ，等量代换得到AB=PQ，于是得到结论；
（2）由（1）证得△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标；
（3）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．容易得到△POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题．
解答 解：（1）如图，由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）
∴AO=PQ，
∵四边形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC，
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°，
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°，
∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ，
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ，
在△BAP和△PQD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠PQD}\\{∠BPA=∠PDQ}\\{AB=PQ}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△PQD；
（2）∵△BAP≌△PQD，
∴AP=QD，BP=PD．
∵∠BPD=90°，BP=PD，
∴∠PBD=∠PDB=45°．
∵AP=t，
∴DQ=t．
∴点D坐标为（t，t）；
（3）∵∠EBP=45°
∴由图1可以得到EP=CE+AP，
∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE
=AO+CO
=3+3
=6．
∴△POE周长是定值，该定值为6．
点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键．
已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线AP交DE于点P．若AE=AP=1，PB=$\sqrt{6}$，下列结论：
如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为Sl，△ACE的面积为S2，若S△ABC=12，则S1+S2=14．
在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与边AC交于点E，连接OE，OF．