Question

5．如图，边长为5的菱形ABCD中，cosA=$\frac{3}{5}$，点P为边AB上一点，以A为圆心，AP为半径的⊙A与边AD交于点E，射线CE与⊙A另一个交点为点F．
（1）当点E与点D重合时，求EF的长；
（2）设AP=x，CE=y，求y关于x的函数关系式及定义域；
（3）是否存在一点P，使得$\widehat{EF}$=2$\widehat{PE}$？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得到∠AEF=DAB，再利用cos∠DAB=cos∠AEF=$\frac{EH}{AE}$=$\frac{3}{5}$即可求解；
（2）由平行四边形的性质得到∠CGD=∠BAD，再利用勾股定理即可求解；
（3）由平行四边形的性质得到∠GCE=∠HAE=∠DAB，利用cosA=$\frac{3}{5}$计算即可．

解答 解：（1）过点A作AH⊥EF于点H，
∴EF=2EH，
∵点E与点D重合，
∴EF∥AB，
∴∠AEF=DAB，
∴cos∠DAB=cos∠AEF=$\frac{EH}{AE}$=$\frac{3}{5}$，
∵AE=5，
∴EH=3，
∴EF=6；
（2）如图，
过点C作CG⊥AD，
在Rt△CGD中，cos∠CDG=cos∠BAD=$\frac{3}{5}$，
∴DG=3，CG=4，
在Rt△CGE中，GE=8-x，
∴y²=16+（8-x）²，
y=$\sqrt{{x}^{2}-16x+80}$（0＜x≤5），
（3）∵cos∠DAB=$\frac{3}{5}$，
∴tan∠DAB=$\frac{4}{3}$，
∵∠GCE=∠HAE=∠DAB，
∴tan∠DAB=$\frac{8-x}{4}$=$\frac{4}{3}$，
∴x=$\frac{8}{3}$，
即：AP的长为$\frac{8}{3}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，平行四边形的性质，勾股定理以及锐角三角函数，锐角三角函数的运用是解本题的关键．