Question

14．已知：如图1，△ABC中，AD，BE是高，AD，BE交于点F，∠ABC=45°，CD=3，AF=1，连接CF
（1）判断△DCF的形状并说明理由；
（2）求AC和EF的长；
（3）如图2，有一条长度为5的线段MN在射线AD上从点A向下运动，运动过程中，当∠MNC与△BCF中的某个角度相等时，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）由AD与BE为两条高，得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，利用内角和定理得到∠CAD=∠FBD，根据∠ABC=45°，得到三角形ABD为等腰直角三角形，即AD=BD，利用ASA得到三角形ADC与三角形BDF全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由CD=3，AF=1，得到AD=BD=4，AC=5，由于S_△ADC=S_△DCF+S_△AFC，于是得到12=9+5EF，即可得到结论；
（3）当∠MNC=∠FCB=45°，求得∠SCN=MNC=45°，得到DN=3，且MN=5，ND=2，且AD=4，求出AM=2，推出△FDB≌△CDN，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）△DCF是等腰直角三角形，
理由：∵AD、BE是△ABC的高线，
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠AEB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠EBC+∠BFD=90°，∠CAD+∠AFE=90°，∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠EBC，
在△BDF和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EBC}\\{AD=BD}\\{∠ADC=∠BDF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴CD=DF，
∴△DCF是等腰直角三角形；

（2）∵CD=3，AF=1，
∴AD=BD=4，
∴AC=5，
∵S_△ADC=S_△DCF+S_△AFC，
∴12=9+5EF，
∴EF=$\frac{3}{5}$；

（3）当∠MNC=∠FCB=45°，
∴∠SCN=MNC=45°，
∴DN=3，且MN=5，
∴ND=2，且AD=4，
∴AM=2，
当∠MNC=∠FBC，且FD=CD，∠FDC=CDN=90°，
在△FDB和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MNC=∠FBC}\\{FD=CD}\\{∠FDC=∠CDN=90°}\end{array}\right.$，
∴△FDB≌△CDN，
∴BD=DN=4，且MN=5，
∴MD=1，
∴AM=3．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．