Question

已知，如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，P是BC上任意一点，过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N，设AO=d，BO=r．求证：△AMN的周长是一个定值，并求出这个定值．

Answer 1

考点：切线长定理

专题：

分析：根据切线的性质，可得出OB⊥AB，再根据勾股定理得出AB的长，根据切线长定理得出三角形的周长为定值，即可得出这个定值．

解答：解：∵AB，AC分别与⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∵AO=d，BO=r，
∴AB=

AO2-OB2

=

d2-r2

，
∵MN切圆O于点P，
∴MP=MB，NP=NC，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+PM+PN+AN=AM+BM+AN+PN=AB+AC=2AB=2

d2-r2

，
∴△AMN的周长是一个定值，这个定值为2

d2-r2

．

点评：本题考查了切线长定理，即经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等且此点与圆心的连线平分两切线的夹角，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．理解过点D和点E分别作圆的两条切线是解本题的关键．