Question

3．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．
性质：“朋友三角形”的面积相等．
如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线．
那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且S_△ACD=S_△BCD．
应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=4，BC=6，点E在BC上，点F在AD上，BE=AF，AE与BF交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
（2）连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积．
拓展：如图3，在△ABC中，∠A=30°，AB=8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$，则△ABC的面积是8或8$\sqrt{3}$（请直接写出答案）．

Answer 1

分析 应用：（1）由AAS证明△AOF≌△EOB，得出OF=OB，AO是△ABF的中线，即可得出结论；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE和梯形ABCD的面积的面积，根据S_{四边形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF即可求解．
拓展：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAF=∠OEB，
在△AOF和△EOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OEB}&{\;}\\{∠AOF=∠EOB}&{\;}\\{AF=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴OF=OB，
则AO是△ABF的中线．
∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
（2）解：∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”，
∴S_△AOF=S_△DOF，
∵△AOF≌△EOB，
∴S_△AOB=S_△EOB，
∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”
∴S_△AOB=S_△AOF，
∴S_△AOF=S_△DOF=S_△AOB=S_△EOB，=$\frac{1}{2}$×4×2=4，
∴四边形CDOE 的面积=S_梯形ABCD-2S_△ABE=$\frac{1}{2}$×（4+6）×4-2×4=12；
拓展：解：分为两种情况：①如图1所示：
∵S_△ACD=S_△BCD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=4，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=8，∠BAC=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=4=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×BC×AC=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；
②如图2所示：
∵S_△ACD=S_△BCD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴A′C=BD=4，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=4，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$A′C=2，
∴S_△ABC=2S_△ADC=2S_△A′DC=2×$\frac{1}{2}$×A′D×CQ=2×$\frac{1}{2}$×4×2=8；
即△ABC的面积是8或8$\sqrt{3}$；
故答案为：8或8$\sqrt{3}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．