Question

18．如图，直线l₁∥l₂∥l₃，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l₁，l₂，l₃上，∠ACB=90°，AC交l₂于点D，已知l₁与l₂的距离为1，l₂与l₃的距离为3，则$\frac{AB}{BD}$的值为（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{2}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{34}}{5}$
• C． $\frac{5\sqrt{2}}{8}$
• D． $\frac{20\sqrt{2}}{23}$

Answer 1

分析 先作出作BF⊥l₃，AE⊥l₃，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l₂∥l₃，求出DG，即可．

解答 解：如图，作BF⊥l₃，AE⊥l₃，

∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFC=∠CEA}\\{∠CBF=∠ACE}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE=BF=3，CF=AE=4，
∵l₁与l₂的距离为1，l₂与l₃的距离为3，
∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7
∴AB=$\sqrt{B{G}^{2}+A{G}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵l₂∥l₃，
∴$\frac{DG}{CE}=\frac{AG}{AE}$=$\frac{1}{4}$
∴DG=$\frac{1}{4}$CE=$\frac{3}{4}$，
∴BD=BG-DG=7-$\frac{3}{4}$=$\frac{25}{4}$，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{25}{4}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
故选A．

点评 此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．