题目内容

如图，已知直线y=-
1
2
x+6交x轴于B，交y轴于C，并与直线y=x交于点A，点P在射线OA上从点O出发沿射线OA方向以每秒1个单位长的速度运动，过P作PQ∥x轴交直线y=-
1
2
x+6于Q，以PQ为边向下作正方形PQMN，设点P的运动时间为t秒，正方形PQMN与△AOB的重叠部分的面积为S．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）当点P在线段OA上且MN在x轴上时，求线段PQ的长；
（3）当点Q在第一象限内时，求S与t的函数关系式，并求对应的t的取值范围．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）解直线y=-
1
2
x+6与直线y=x构成的方程组，解这个方程组即可求得点A的坐标；
（2）根据题意求得PQ、PN的表达式，根据正方形的性质即可PQ=PN，得出12-
3
2
2
t=
2
2
t，解得：t=3
2
，代入PQ的表达式即可求得；
（3）根据直线y=x，即可求得P（
2
2
t，
2
2
t），Q（12-
2
t，
2
2
t），然后根据矩形的面积公式得出S=-
3
2
t2+6
2
；最后根据题意得出t的取值；
解答：解：（1）解
y=-
1
2
x+6
y=x
 得：
x=4
y=4
，
∴A（4，4）；

（2）∵P在直线y=x上，OP=t，
∴P（
2
2
t，
2
2
t），
把y=
2
2
t代入直线y=-
1
2
x+6得：x=12-
2
t，
∴Q（12-
2
t，
2
2
t），
∴PQ=12-
2
t-
2
2
t=12-
3
2
2
t，
∵正方形PQMN，
∴PQ=PN，
即12-
3
2
2
t=
2
2
t，解得：t=3
2
，
∴PQ=12-
3
2
2
t=3；

（3））∵P在直线y=x上，OP=t，
∴P（
2
2
t，
2
2
t），
把y=
2
2
t代入直线y=-
1
2
x+6得：x=12-
2
t，
∴Q（12-
2
t，
2
2
t），
∴PQ=12-
2
t-
2
2
t=12-
3
2
2
t，
∵正方形PQMN，
∴S=
2
2
t•PQ=
2
2
t（12-
3
2
2
t）=-
3
2
t2+6
2
；
即S=-
3
2
t2+6
2
；
由直线y=-
1
2
x+6可知C（0，6），
∴OP=6
2
，
∴0＜t≤6
2
；
点评：本题考查了直线的交点坐标的求法，正方形的性质及面积的求法，矩形的性质及面积的求法，t的取值是本题的难点；
练习册系列答案
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（1）计算：
4
+|
2
-1|+（
1
2
）-1-2sin45°；
（2）解方程组：
x-3y=1，①
x+2y=6．②
．
求不等式组
3(x-1)+2＜5x+3
x-1
2
+x≥3x-4
的解集，并将解集在数轴上表示出来．
解方程：x2-81=0．
甲，乙两个仓库要向A，B两地运送水泥，已知从甲仓库可调出100吨水泥，乙仓库可调出80吨水泥，A地需70吨，B地需110吨，两库到A，B的路程和运费如下表．
路程（千米）运费（元/吨．千米）
甲乙甲乙
A20151212
B2520108
要想运费正好是37100元，请你设计调运方案．
计算|2-
5
|+（-1）2013-
3-8
-
4
．
如图，AB⊥AC，AB=12cm，BC=13cm，AD=3cm，CD=4cm，则∠D=
 
．
计算：
3
(x-1)2
-
3x
(1-x)2
=
 
．
给出下列函数：①y=2x-1；②y=
1
x
；③y=-x2．从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当x＞1时，函数值y随x增大而减小”的概率是
 
．

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