Question

已知关于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）求证：x₁+x₂=2（k-1），x1•x2=k2；
（3）求（x₁-1）•（x₂-1）的最小值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：证明题

分析：（1）根据判别式的意义得到△=[-2（k-1）]²-4×1×k²≥0，然后解不等式即可；
（2）利用求根公式得到x₁=k-1+

1-2k

，x₂=k-1-

1-2k

，然后分别计算x₁+x₂，x₁x₂的值即可；
（3）利用（2）中的结论得到（x₁-1）•（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=k²-2（k-1）+1，然后利用配方法确定代数式的最小值．

解答：（1）解：依题意得△=[-2（k-1）]²-4×1×k²≥0，
解得k≤

1

2

；

（2）证明：∵△=4-8k，
∴x=

2(k-1)± 4-8k

2

，
∴x₁=k-1+

1-2k

，x₂=k-1-

1-2k

∴x₁+x₂=k-1+

1-2k

+k-1-

1-2k

=2（k-1）；
x₁•x₂=（k-1+

1-2k

）（k-1-

1-2k

）=（k-1）²-（

1-2k

）²=k²；

（3）解：（x₁-1）•（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=k²-2（k-1）+1=（k-1）²+2，
∵（k-1）²≥0，
∴（k-1）²+2≥2，
∴（x₁-1）•（x₂-1）的最小值为2．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判别式．