Question

已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

（1）求该二次函数的解析式．

（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）

（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．

（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）

附：阅读材料

   任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．

   即：设一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，

   则：x₁+x₂=﹣，x₁•x₂=

   能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．

   例：不解方程，求方程x²﹣3x=15两根的和与积．

   解：原方程变为：x²﹣3x﹣15=0

∵一元二次方程的根与系数有关系：x₁+x₂=﹣，x₁•x₂=

∴原方程两根之和=﹣=3，两根之积==﹣15．

Answer 1

（1）解：由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），

因此二次函数的解析式可设为y=ax²+1．

∵抛物线y=ax²+1过点（﹣1，），

∴=a+1．

解得：a=．

∴二次函数的解析式为：y=x²+1．

（2）解：当x=﹣1时，y=，

当x=0时，y=1，

当x=3时，y=×3²+1=，

结合图1可得：当﹣1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜．

（3）①证明：∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，

∴GP平分∠AGB．

∴直线GP是∠AGB的对称轴．

过点A作GP的对称点A′，如图2，

则点A′一定在BG上．

∵点A的坐标为（x₁，y₁），

∴点A′的坐标为（﹣x₁，y₁）．

∵点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在直线y=kx+2上，

∴y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2．

∴点A′的坐标为（﹣x₁，kx₁+2）、点B的坐标为（x₂，kx₂+2）．

设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．

∵点A′（﹣x₁，kx₁+2）、B（x₂，kx₂+2）在直线BG上，

∴．

解得：．

∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是直线y=kx+2与抛物线y=x²+1的交点，

∴x₁、x₂是方程kx+2=x²+1即x²﹣4kx﹣4=0的两个实数根．

∴由根与系数的关系可得；x₁+x₂=4k，x₁•x₂=﹣4．

∴n==﹣2+2=0．

∴点G的坐标为（0，0）．

∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．

②解：过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2，

∵直线y=kx+2与y轴相交于点P，

∴点P的坐标为（0，2）．

∴PG=2．

∴S_△ABG=S_△APG+S_△BPG

=PG•AC+PG•BD

=PG•（AC+BD）

=×2×（﹣x₁+x₂）

=x₂﹣x₁

=

=

=

=4．

∴当k=0时，S_△ABG最小，最小值为4．

∴△GAB面积的最小值为4．