Question

已知二次函数的对称轴是直线x=2，其最小值为5，各项系数和为6，求此抛物线与x轴交点的个数．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：由条件可知其顶点坐标为（2，5），又各项系数和为6，可知过点（1，6），可求得二次函数的解析式，令y=0，得到一元二次方程，利用判别式可求得该方程的解的个数，则可求得抛物线线与x轴的交点个数．

解答：解：
∵对称轴是直线x=2，其最小值为5，
∴顶点坐标为（2，5），
∴可设二次函数解析式为y=a（x-2）²+5，
∵各项系数和为6，
∴二次函数图象过点（1，6），
代入可得a=1，
∴二次函数解析式为y=（x-2）²+5=x²-4x+9，
令y=0可得x²-4x+9=0，
其判别式△=16-36=-20＜0，
∴方程x²-4x+9=0无实数解，
∴二次函数与x轴无交点．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数与x轴的交点，掌握二次函数的一般式、两点式、顶点式是解题的关键．注意二次函数与x轴的交点与一元二次方程的关系．