Question

如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点D，则阴影部分的面积为

 

cm²．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,等边三角形的性质,切线的性质

专题：

分析：过点A作AE⊥BC于点E，过点O作OF⊥AC于点F，根据等腰三角形的性质求出AE的长，由三角形ABC与⊙O等高即可得出圆的半径，再根据⊙O与BC相切于点C可知OC⊥BC，故可得出∠OCD的度数，由三角形内角和定理求出∠COD的度数，根据直角三角形的性质求出OF及CF的长，由S_阴影=S_扇形-S_△OCD即看得出结论．

解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，过点O作OF⊥AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∴AE=AB•sin60°=4×

3

2

=2

3

（cm）．
∵等边三角形ABC与⊙O等高，
∴OD=

3

．
∵⊙O与BC相切于点C，
∴OC⊥BC，
∴∠OCD=90°-60°=30°．
∵OD=OC，
∴∠COD=180°-30°-30°=120°，
∴OF=

1

2

OC=

3

2

，CF=OC•cos30°=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴CD=2CF=3，
∴S_阴影=S_扇形-S_△OCD=

120π×( 3 )2

360

-

1

2

×3×

3

2

=（π-

3 3

4

）cm²．
故答案为：π-

3 3

4

．

点评：本题考查的是扇形面积的计算，熟知等腰三角形的性质及扇形的面积公式是解答此题的关键．