Question

2．在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=-x²+（k-1）x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，C（点B在负半轴），且S_△OAB=$\frac{9}{2}$．
（1）求点B的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）在线段AB上取点P，过P作y轴的平行线，与抛物线交于点Q，试求线段PQ取得最大或最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据三角形面积公式求出OB即可解决问题．
（2）把点B坐标代入y=-x²+（k-1）x+3即可．
（3）设点P（a，a+3），则Q（a，-a²-2a+3），PQ=-a²-2a+3-（a+3）=-a²-3a利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）由题意点A（0，3），设点B坐标为（m，0）（m＜0），
∵$\frac{1}{2}$•（-m）•3=$\frac{9}{2}$，
∴m=-3，
∴点B坐标为（-3，0）．
（2）把点B坐标代入y=-x²+（k-1）x+3得0=-9-3k+3+3，k=-1，
∴二次函数解析式为y=-x²-2x+3．
（3）∵直线AB为y=x+3，
设点P（a，a+3），则Q（a，-a²-2a+3），
PQ=-a²-2a+3-（a+3）=-a²-3a=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，PQ最大值=$\frac{9}{4}$，
此时点P坐标（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴交点有关的知识、二次函数的性质、最值问题等知识，熟练掌握待定系数法确定函数解析式，解题的关键是利用二次函数的性质解决最值问题．