Question

19．在平面直角坐标系中，已知点A（4，3），点B在y轴的正半轴上，连结AB，以AB为边作矩形ABCD，其中AB⊥BC且AB=3BC，设C点的横坐标为m，则用m的代数式表示D点的坐标为（4+m，$\frac{5}{3}$）或（4+m，$\frac{13}{3}$）．

Answer 1

分析 过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，则∠AEB=∠BFC=90°，通过角的计算找出∠CBF=∠BAE，从而得出△BFC∽△AEB，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{BF}{AE}=\frac{CF}{BE}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，结合给定条件A（4，3），C点的横坐标为m，找出点C的坐标，再根据矩形的性质即可得出点D的坐标．

解答 解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，则∠AEB=∠BFC=90°，如图所示．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE．
又∵∠∠AEB=∠BFC=90°，
∴△BFC∽△AEB，
∴$\frac{BF}{AE}=\frac{CF}{BE}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$．
∵A（4，3），C点的横坐标为m，
∴AE=4，CF=|m|，
∴BF=$\frac{4}{3}$，BE=3|m|．
①当C、D在直线AB下方时：B（0，3-3m），C（m，$\frac{5}{3}$-3m），
∴点D的坐标为（4+m-0，3+$\frac{5}{3}$-3m-（3-3m）），即（4+m，$\frac{5}{3}$）；
②当C、D在直线AB上方时：B（0，3-3m），C（m，$\frac{13}{3}$-3m），
∴点D的坐标为（4+m-0，3+$\frac{13}{3}$-3m-（3-3m）），即（4+m，$\frac{13}{3}$）．
综上可知：点D的坐标为（4+m，$\frac{5}{3}$）或（4+m，$\frac{13}{3}$）．
故答案为：（4+m，$\frac{5}{3}$）或（4+m，$\frac{13}{3}$）．

点评 本题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是用含m的代数式表示出B、C的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，矩形ABCD字母的排列可能是顺时针也可能是逆时针．