Question

19．观察下列运算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$，…，$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2017}}$=$\sqrt{2017}$-$\sqrt{2016}$
请回答下列问题：
（1）观察上面解题过程，直接写出下面式子的结果
$\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{10}}$=$\sqrt{10}-\sqrt{9}$；$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（n≥1）
（2）利用上面规律计算：
（$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2017}}$）（1+$\sqrt{2017}$）

Answer 1

分析 （1）根据题意利用平方差公式分母有理化可以解答本题；
（2）根据题目中的信息利用平方差公式分母有理化，再利用平方差公式可以解答本题．

解答 解：（1）由题意可得，
$\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{10}}=\sqrt{10}-\sqrt{9}$，$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；

（2）（$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2017}}$）（1+$\sqrt{2017}$）
=（$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+…+\sqrt{2017}-\sqrt{2016}$）（1+$\sqrt{2017}$）
=（$\sqrt{2017}-1$）（$\sqrt{2017}+1$）
=2017-1
=2016．
故答案为：$\sqrt{10}-\sqrt{9}$，$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$．

点评 本题考查分母有理化，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．