Question

16．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，2）、B（4，5）、C（-2，-1）．
（1）在平面直角坐标系中描出点A、B、C，求△ABC的面积；
（2）x轴上是否存在点P，使△ACP的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，说明理由．y轴上存在点Q，使△ACQ的面积为4吗？如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，说明理由；
（3）如果以点A为原点，以经过点A平行于x轴的直线为x′轴，向右的方向为x′轴的正方向；以经过点A平行于y轴的直线为y′轴，向上的方向为y′轴的正方向；单位长度相同，建立新的直角坐标系，直接写出点B、点C在新的坐标系中的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据三点的坐标，在直角坐标系中分别标出位置可描出点A、B、C，把AC当作底，点B到AC的距离当作高，根据三角形的面积公式计算即可得出△ABC的面积；
（2）设AC与x轴交于点M，则M（-2，0）．根据△ACP的面积为4，求出PM=$\frac{8}{3}$，进而求得点P的坐标；由于y轴上任意一点与AC的距离都是2，根据三角形的面积公式得出：当点Q在y轴上时，△ACQ的面积=$\frac{1}{2}$×3×2=3≠4，即可说明y轴上不存在点Q，使△ACQ的面积为4；
（3）根据条件画出新的直角坐标系，即可写出点B、点C在新的坐标系中的坐标．

解答 解：（1）如图所示：

∵A（-2，2）、B（4，5）、C（-2，-1），
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×3×6=9；

（2）x轴上存在点P，使△ACP的面积为4．理由如下：

设AC与x轴交于点M，则M（-2，0）．
∵△ACP的面积为4，
∴$\frac{1}{2}$AC•PM=$\frac{1}{2}$×3×PM=4，
∴PM=$\frac{8}{3}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{14}{3}$，0）或（$\frac{2}{3}$，0）；
y轴上不存在点Q，使△ACQ的面积为4．理由如下：
∵AC∥y轴，y轴上任意一点与AC的距离都是2，
∴当点Q在y轴上时，△ACQ的面积=$\frac{1}{2}$×3×2=3≠4，
∴y轴上不存在点Q，使△ACQ的面积为4；

（3）如图所示：
在新的直角坐标系中，点B的坐标为（6，3），点C的坐标为（0，-3）．

点评 本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难度一般，解答本题的关键是正确作图，利用数形结合的思想．