Question

17．已知△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；
（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△ACD与△ABE全等，再利用全等三角形的性质证明即可；
（2）根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．

解答 （1）如图1，证明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE，
即∠DAC=∠BAE．
在△ACD与△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；
（2）连接BE，如图2：

∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵CD垂直平分AE，
∴∠CDA=$\frac{1}{2}$∠ADE=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=4，∠BEA=∠CDA=30°，
∴BE⊥DE，DE=AD=3，
∴BD=5；

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．