Question

17．如图，直线y=x+m（m＞0）与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点E，直线y=-x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=x+m（m＞0）相交于点D，若AB=3，
（1）求m、n的值和△ACD的面积；
（2）在x轴上存在点p，使△AEP为等腰三角形，直接写出P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的坐标特征，把A（-2，0）代入y=x+可求得m=2；再由AB=3可得B（1，0），接着把B（1，0）代入y=-x+n可求得n=1，然后确定C（0，1），通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$得D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
最后根据三角形面积公式，利用S_△ACD=S_△ADB-S_△ACB进行计算；
（2）先确定E（0，2），再计算出AE=2$\sqrt{2}$，然后分类讨论：当AP=AE=2$\sqrt{2}$时，易得P（-2-2$\sqrt{2}$，0）或（-2+2$\sqrt{2}$，0），当EP=EA时，易得P（2，0），当PA=PE时，易得P（0，0）．

解答 解：（1）把A（-2，0）代入y=x+m得-2+m=0，解得m=2；
∵AB=3，
∴B（1，0），
把B（1，0）代入y=-x+n得-1+n=0，解得n=1；
当x=0时，y=-x+1=1，则C（0，1）；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，则D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴S_△ACD=S_△ADB-S_△ACB
=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×1
=$\frac{3}{4}$；
（2）当x=0时，y=x+2=2，则E（0，2），
∴AE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
当AP=AE=2$\sqrt{2}$时，则P（-2-2$\sqrt{2}$，0）或（-2+2$\sqrt{2}$，0），
当EP=EA时，则P（2，0），
当PA=PE时，设P（t，0），则（t+2）²=t²+2²，解得t=0，此时P（0，0），
综上所述，P点坐标为（-2-2$\sqrt{2}$，0）或（-2+2$\sqrt{2}$，0）或（2，0）或（0，0）．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了等腰三角形的判定和分类讨论思想的运用．