Question

4．阅读下列材料：
解答“已知x-y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x-y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1y＞-1
又y＜0，∴-1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得-1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}3x-y=2a-5\\ x+2y=3a+3\end{array}\right.$的解都为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知a-b=4，且b＜2，求a+b的取值范围；
（3）已知a-b=m（m是大于0的常数），且b≤1，求$2a+\frac{1}{2}b$最大值．（用含m的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可；
（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a、b的取值范围，然后再来求a+b的取值范围；
（3）根据（1）的解题过程求得a、b取值范围；结合限制性条件得出结论即可．

解答 解：（1）解这个方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}{x=a-1}\\{y=a+2}\end{array}\right.$，
由题意，得 $\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{a+2＞0}\end{array}\right.$，
则原不等式组的解集为a＞1；
（2）∵a-b=4，a＞1，
∴a=b+4＞1，
∴b＞-3，
∴a+b＞-2，
又∵a+b=2b+4，b＜2，
∴a+b＜8．
故-2＜a+b＜8；
（3）∵a-b=m，
∴a=b+m．
由∵b≤1，
∴$2a+\frac{1}{2}b$=2（b+m）+$\frac{1}{2}$b≤2m+$\frac{5}{2}$．
最大值为2m+$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．