Question

10．如图，在四边形ABCD中，∠BAE=∠ACD=90°，BC=CE．
（1）∠BAC与∠D相等吗？为什么？
（2）E点在AD边上，若∠BCE=90°，试判断△ACD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形两锐角互余可得∠CAD+∠D=90°，再根据直角可得∠BAC+∠CAD=90°，然后根据同角的余角相等解答；
（2）根据同角的余角相等求出∠ACB=∠DCE，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=CD，再根据等腰直角三角形的定义解答．

解答 解：（1）∠BAC=∠D．
理由如下：∵∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠D=90°，
∵∠BAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠BAC=∠D；

（2）△ACD是等腰直角三角形．
理由如下：∵∠BCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
又∵∠ACD=90°，
∴∠DCE+∠ACE=90°，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠D}\\{∠ACB=∠DCE}\\{BC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC=CD，
又∵∠ACD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．