Question

12．已知：?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F，求证：OE=OF．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，即可得OA=OC，又由OE⊥AD，OF⊥BC，易证得△AEO≌△CFO，由全等三角形的对应边相等，可得OE=OF．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵OE⊥AD，OF⊥BC，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AEO和△CFO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{∠AEO=∠CFO}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∵∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF．

点评 此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形对角线互相平分定理的应用是解此题的关键．