Question

12．已知二次函数y=-x²+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x²+2x+m=0的解为x₁=-1，x₂=3，不等式-x²+2x+m＞0的解集为-1＜x＜3．

Answer 1

分析 首先把（3，0）代入二次函数y=-x²+2x+m可得m的值，然后再解-x²+2x+3=0可得解；根据二次函数y=-x²+2x+m，y＞0时，图象在x轴上方可得-1＜x＜3，进而可得不等式-x²+2x+m＞0的解集．

解答 解：根据图象可知，二次函数y=-x²+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=-x²+2x+m，代入，得
-3²+2×3+m=0，
解得m=3，
把m=3代入一元二次方程-x²+2x+m=0，得
-x²+2x+3=0，
解得x₁=3，x₂=-1；
∵二次函数y=-x²+2x+m，y＞0时，图象在x轴上方，
∴y＞0时，-1＜x＜3，
∴不等式-x²+2x+m＞0的解集-1＜x＜3．
故答案为：x₁=-1，x₂=3；-1＜x＜3．

点评 本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率．