Question

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；
（2）若∠DAF=∠DBA，
①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；
②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF．

Answer 1

分析 （1）由旋转得到∠BAC=∠BAD，而DF⊥AC，从而得出∠ABC=45°，最后判断出△ABC是等腰直角三角形；
（2）①由旋转得到∠BAC=∠BAD，再根据∠DAF=∠DBA，从而求出∠FAD=∠BAC=∠BAD=60°，最后判定△AFD≌△BED，即可；
②根据题意画出图形，先求出角度，得到△ABD是顶角为36°的等腰三角形，再用相似求出，$\frac{AD}{BD}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，最后判断出△AFD∽△BED，代入即可．

解答 解：（1）由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∵DF⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAC=∠BAD=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴AC=CB，
（2）①由旋转得，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠DAF=∠ABD，
∴∠DAF=∠ADB，
∴AF∥BD，
∴∠BAC=∠ABD，
∵∠ABD=∠FAD
由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
由旋转得，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
在△AFD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠BED=90°}\\{∠FAD=∠BED}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BED，
∴AF=BE，
②如图，
由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD，
由旋转得，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°，
∴∠BAD=36°，
设BD=y，作BG平分∠ABD，
∴∠BAD=∠GBD=36°
∴AG=BG=BD=y，
∴DG=AD-AG=AD-BG=AD-BD，
∵∠BDG=∠ADB，
∴△BDG∽△ADB，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{DG}{DB}$．
∵DG=AD-BD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{AD-BD}{BD}$=$\frac{AD}{BD}$-1，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{BD}$-1，
∴$\frac{1}{\frac{AD}{BD}}=\frac{AD}{BD}$-1，
∴1=（$\frac{AD}{BD}$）²-$\frac{AD}{BD}$
即（$\frac{AD}{BD}$）²-$\frac{AD}{BD}$-1=0，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∵∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，
∴△AFD∽△BED，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AF}{BE}$，
∴AF=$\frac{AD}{BD}×BE$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$x．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，旋转的性质，解本题的关键是求出顶角为36°的等腰三角形的腰与底的比值，也是本题的难点．