Question

已知关于x的方程mx²-（4m+1）x+3m+3=0．
（1）试证明无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若抛物线y=mx²-（4m+1）x+3m+3与x轴的两个交点距离为n+2，设A（1，a）、B（b，2）两点在动点P（m，n）所形成的曲线上，求直线AB的解析式；
（3）若m＞0，当-3≤x≤3时，二次函数y=mx²-（4m+1）x+3m+3有最小值-3，试求m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）当m=0时，求出x的值，当m≠0时，求出△，判断方程有两个实根，进而得出无论m为何值，方程总有实数根；
（2）令y=0，求出与x轴的两个交点，根据两个交点距离为n+2，分两种情况将点A和点B的坐标代入，分别求出解析式‘
（3）先求出对称轴为2+

1

2m

，分别当2+

1

2m

＜-3，-3≤2+

1

2m

＜3，2+

1

2m

＞3时，根据最小值求出m的值．

解答：解：（1）当m=0时，原方程为-x+3=0，则x=3，方程有实数根，
当m≠0时，△=（4m+1）²-4m（3m+3）=（2m+1）²≥0，方程有两个实根，
∴无论m为何值，方程总有实数根；

（2）令y=0，则mx²-（4m+1）x+3m+3=0，
∴x=3或x=

m-1

m

，
①当3-

m-1

m

=n+2时，即n=

1

m

，
把A（1，a），B（b，2）代入n=

1

m

中，
∴A（1，-1），B（-

1

2

，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
代入得：

k+b=-1 - 1 2 k+b=2

，
解得：

k=-2 b=1

，
∴直线AB的解析式为y=-2x+1；
②当

m-1

m

-3=n+2时，即n=-

1

m

-4，
同理可求A（1，-5），B（-6，2），
同理可得：直线AB的解析式为y=-x-4；

（3）∵m＞0，
∴抛物线的开口向上，且过定点（3，0），
而抛物线的对称轴为x=

4m+1

2m

=2+

1

2m

，
①当对称轴x=2+

1

2m

＜-3时，函数在x=-3时取最小值，
由2+

1

2m

＜-3得：m＜-

1

10

，
而m＞0，不合题意．
②当-3≤2+

1

2m

＜3时，
解得-

1

10

≤m＜

1

2

，

4m(3m+3)-(4m+1)2

4m

=-3，
解得：m₁=

4+ 15

2

（不合题意，舍去），m₂=

4- 15

2

；
③当2+

1

2m

≥3时，
在-3≤x≤3时，即x=3，y_最小=0，不合题意．
综上所述，m的值为：

4- 15

2

．

点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与x轴的交点，解二元一次方程组，根的判别式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．