Question

16．如图是平面直角坐标系及其中的一条直线，该直线还经过点C（3，-10）．
（1）求这条直线的解析式；
（2）若该直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在x轴上，且S_△PAB=6S_△OAB，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）先根据直线解析式求得A、B点坐标，进而可得S_△OAB=$\frac{1}{6}$，设点P的坐标为P（m，0），用含m的式子表示出S_△PAB，根据S_△PAB=6S_△OAB可得关于m的方程，解方程即可得．

解答 解：（1）设直线的解析式为：y=kx+b，
由图可知，直线经过点（-1，2），
又已知经过点C（3，-10），
分别把坐标代入解析式中，得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2}\\{3k+b=-10}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线的解析式为：y=-3x-1；

（2）由y=-3x-1，令y=0，
解得x=-$\frac{1}{3}$；
令x=0，解得y=-1．
∴A、B两点的坐标分别为A（-$\frac{1}{3}$，0）、B（0，-1）．
S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×1=$\frac{1}{6}$．
设点P的坐标为P（m，0），
则S_△PAB=$\frac{1}{2}$PA•OB=$\frac{1}{2}$×|m-（-$\frac{1}{3}$）|×1=$\frac{1}{2}$|m+$\frac{1}{3}$|，
由S_△PAB=6S_△OAB，得$\frac{1}{2}$|m+$\frac{1}{3}$|=6×$\frac{1}{6}$，
从而得m+$\frac{1}{3}$=2或m+$\frac{1}{3}$=-2，
∴m=$\frac{5}{3}$或m=-$\frac{7}{3}$，
即点P的坐标为P（$\frac{5}{3}$，0）或P（-$\frac{7}{3}$，0）．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及解方程的能力，根据三角形面积间的关系得出关于m的绝对值方程是解题的关键．