Question

3．如图，AE是等边三角形ABC边BC上的高，AB=4，DC⊥BC，垂足为C，CD=$\sqrt{3}$，BD与AE、AC分别交于点F、M．
（1）求AF的长；
（2）求证：AM：CM=3：2；
（3）求△BCM的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到BE=$\frac{1}{2}$BC=2，AE=2$\sqrt{3}$，由CD∥AE，得到EF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是得到结论；
（2）由AF∥CD，得到△AFM∽△CDM，于是得到比例式$\frac{AM}{CM}=\frac{AF}{CD}$，代入数据即可得到结论；
（3）过M作MN⊥BC于N，根据△CMN≌△CAE，得到$\frac{CM}{AC}=\frac{MN}{AE}$，求得MN=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，于是求得S_△BCM=$\frac{1}{2}×$BC•MN=$\frac{1}{2}×4×\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=4，
∵AE⊥BC，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=2，AE=2$\sqrt{3}$，
∵DC⊥BC，
∴CD∥AE，
∴EF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AF=AE-EF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；

（2）∵AF∥CD，
∴△AFM∽△CDM，
∴$\frac{AM}{CM}=\frac{AF}{CD}$，
由（1）知，AF=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$，CD=$\sqrt{3}$，
∴AM：CM=AF：CD=3：2；

（3）过M作MN⊥BC于N，
∴MN∥AE，
∴△CMN≌△CAE，
∴$\frac{CM}{AC}=\frac{MN}{AE}$，
由（2）知AM：CM=3：2；
∴CM：AC=2：5，
∴MN=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}×$BC•MN=$\frac{1}{2}×4×\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．