题目内容

11．写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．
命题：如果平行四边形的一条对角线平分它的一个内角，那么这个平行四边形是菱形．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠BCD．．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=CB，
∴平行四边形ABCD是菱形．．

分析 由平行四边形的性质得出∠BAC=∠DCA，再由角平分线证出∠BAC=∠BCA，由等角对等边得出AB=CB，即可得出结论．

解答 已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠BCD．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=CB，
∴平行四边形ABCD是菱形．
故答案为：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠BCD．
平行四边形ABCD是菱形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=CB，
∴平行四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定方法、平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

练习册系列答案
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