Question

已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．
小题1:当=1时，CF=_____cm；
小题2:当 =2时，求sin∠DAB′的值；
小题3:当 =x时（点C与点E不重合），求△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式．

Answer 1

小题1:CF=6cm
小题2:sin∠DAB′=  或sin∠DAB′= ．
小题3:y= 或 y= ．

本题考查为四边形和三角形的相似。
解：（1）CF=6cm．………2’
（2）①如图1．当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M．
∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴．
∵=2，∴CF=3；∵AB∥CF，∴∠BAE=∠F；又∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠F，∴MA=MF．
令MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k．
在Rt△ADM中，由勾股定理得：k²=（9-k）²+6²，
解得k="MA=" ，∴DM= ．……3’∴sin∠DAB′= ．……4’
②如图2．当点E在BC延长线上时，延长AD交B′E于点N，同①可得NA=NE．
设NA=NE=m，则B′N=12-m，在Rt△AB′N中，由勾股定理，得m²=（12-m）²+6²，
解得m="AN=" ， ∴B′N= ，在Rt△AB′N中，由勾股定理，得m²=（12-m）²+6²，
解得m="AN=" ，∴B′N= ，……5’∴sin∠DAB′= ．………6’
（3）当=x时，正方形ABCD的边长为6cm，△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y．当点E在BC上时．∵=x，∴= ，BE= ，∴y= ×AB×BE，即y= ．…8’
②当点E在BC延长线上时，△ADF的面积为所求．
∵=x，∴= ，又∵AD=6，∴FC= ，DF="6-" ；∴，
∴y= ．