Question

1．在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=30°，D，E分别为边AB，AC上的动点，且DE∥BC，设BD=x，四边形BDCE的面积为S．若四边形DBCE的周长为60，则S关于x的函数表达式是S=-$\frac{1}{2}$x²+15x，四边形DBCE的面积最大值为$\frac{225}{2}$．

Answer 1

分析 如图，过D作DF⊥BC于F，根据平行线等分线段定理得到CE=BD=x，根据直角三角形的性质得到DF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$x，根据梯形的面积公式即可得到结论．

解答 解：如图，过D作DF⊥BC于F，
∵AB=AC，DE∥BC，
∴CE=BD=x，
∵∠B=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$x，
∵四边形DBCE的周长为60，
∴DE+BC=60-2x，
∴S=$\frac{1}{2}$（BC+DE）•DF=$\frac{1}{2}$（60-2x）$•\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{2}$x²+15x，
即S=-$\frac{1}{2}$（x-15）²+$\frac{225}{2}$，
∴四边形DBCE的面积最大值=$\frac{225}{2}$．
故答案为：S=-$\frac{1}{2}$x²+15x，$\frac{225}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的应用，等腰三角形的性质，解直角三角形，图形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．