Question

11．（1）如图1，平面内有一等腰直角三角板ABC（∠ACB=90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，试证明线段AF，BF，CE之间的数量关系为AF+BF=2CE．（提示：过点C作BF的垂线，利用三角形全等证明．）
（2）若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，试猜想线段AF、BF、CE之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）若三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，则线段AF、BF、CE之间的数量关系为BF-AF=2CE

Answer 1

分析 （1）过点C做CD⊥BF，交FB的延长线于点D，易证△ACE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF+BF=2CE．
（2）过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，易证△CBG≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF+BF=2CE；
（3）过点C做CD⊥BF，交FB的于点D，易证△ACE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BF-AF=2CE．

解答 （1）证明：如图1，过点C做CD⊥BF，交FB的延长线于点D，

∵CE⊥MN，CD⊥BF，
∴∠CEA=∠D=90°，
∵CE⊥MN，CD⊥BF，BF⊥MN，
∴四边形CEFD为矩形，
∴∠ECD=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，
即∠ACE=∠BCD，
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCD}\\{∠AEC=∠BDC=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（AAS），
∴AE=BD，CE=CD，
又∵四边形CEFD为矩形，
∴四边形CEFD为正方形，
∴CE=EF=DF=CD，
∴AF+BF=AE+EF+BF
=BD+EF+BF
=DF+EF
=2CE，
（2）AF-BF=2CE
图2中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，

∵AC=BC
可得∠AEC=∠CGB，
∠ACE=∠BCG，
在△CBG和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CGB}\\{∠ACE=∠BCG}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△CAE（AAS），
∴AE=BG，
∵AF=AE+EF，
∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，
∴AF-BF=2CE；
（3）BF-AF=2CE；
如图3，过点C做CD⊥BF，交FB的于点D，

∵AC=BC
可得∠AEC=∠CDB，
∠ACE=∠BCD，
在△CBD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CDB}\\{∠ACE=∠BCD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD，
∵AF=AE-EF，
∴AF=BD-CE=BF-FD-CE=BF-2CE，
∴BF-AF=2CE．
故答案为：BF-AF=2CE．

点评 此题考查几何变换问题，正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键．