Question

3．如图，点P₁（x₁，y₁），点P₂（x₂，y₂），…，点P_n（x_n，y_n）在函数$y=\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…，△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，斜边OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…，A_n-1A_n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P₂₀₁₅的坐标是（$\sqrt{2015}$+$\sqrt{2014}$，$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$）．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质，知P₁的横、纵坐标相等，再结合双曲线的解析式求得该点的横、纵坐标，根据等腰直角三角形的性质和双曲线的解析式首先求得各个点的横坐标，再进一步求得其纵坐标，发现其中的规律，从而得到答案．

解答 解：由△P₁OA₁是等腰直角三角形，得y₁=x₁，
则有y₁²=1，故y₁=-1（舍去），y₂=1，
则x₁=2，点P₁的坐标（1，1），
x₂=y₂+2，
y₂（y₂+2）=1，解得，y₂=$\sqrt{2}$-1，
则x₂=$\sqrt{2}$+1，
P₂（$\sqrt{2}$+1，$\sqrt{2}$-1），
…
∴P₂₀₁₅的坐标为：$（\sqrt{2015}+\sqrt{2014}，\sqrt{2015}-\sqrt{2014}）$，
故答案为：（$\sqrt{2015}$+$\sqrt{2014}$，$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$）．

点评 此题综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标．解答本题的关键是同学们要找出其中的规律，求出坐标．