Question

13．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．
（1）求∠D的度数；
（2）若CE=3，AD=4，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，由∠BAC=45°，易得△OBC是等腰直角三角形，又由AD∥OC，可求得∠D的度数；
（2）首先证得△ACE∽△DAC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 解：（1）连接OB，
∵∠BOC=2∠BAC=90°，OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵AD∥OC，
∴∠D=∠OCB=45°；

（2）∵∠ABC=15°，∠OCB=45°，
∴∠AEC=60°，∠ACD=∠ABC+∠BAC=60°，
∴∠AEC=∠ACD=60°，
∵∠D=45°，∠ACD=60°，
∴∠CAD=75°，
又∵∠OCA=75°，
∴∠CAD=∠OCA=75°，
∴△ACE∽△DAC，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{CE}{AC}$，
即AC²=AD•CE=4×3=12，
∴AC=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理．注意证得△OBC是等腰直角三角形，△ACE∽△DAC是关键．