Question

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF⊥BD于点O，交AD于点E，交BC于点F，且EF=BF．
求证：OF=CF．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据矩形的对角线互相平分可得OA=OC，根据两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，然后求出BF=2OF，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠OBC=30°，根据等边对等角求出∠OCB=30°，再求出∠COF=30°，从而得到∠OCB=∠COF，然后根据等角对等边证明即可．

解答：证明：在矩形ABCD中，OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，

∠OAE=∠OCF OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵EF=BF，
∴BF=2OF，
∵EF⊥BD，
∴在Rt△BOF中，∠OBC=30°，∠BFO=90°-30°=60°，
又∵矩形ABCD中，OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∴∠COF=∠BFO-∠OCB=60°-30°=30°，
∴∠OCB=∠COF，
∴OF=CF．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图，理清图中角度之间的关系是解题的关键．