Question

19．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．
（1）求∠FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：FD=FI；
②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．

Answer 1

分析 （1）根据直径所对的圆周角是直角即可得到∠FDE=90°；
（2）由四边形ABCD是菱形可得AB∥CD，要证四边形FACD是平行四边形，只需证明DF∥AC，只需证明∠AEB=∠FDE，由于∠FDE=90°，只需证明∠AEB=90°，根据四边形ABCD是菱形即可得到结论；
（3）①连接GE，如图，易证GE是△ACD的中位线，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=GE，从而有$\widehat{DG}$=$\widehat{GE}$，根据圆周角定理可得∠1=∠2，根据等角的余角相等可得∠3=∠4，根据等角对等边可得FD=DI；②易知S_⊙O=π（$\frac{3m}{2}$）²=$\frac{9}{4}$πm²，S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•2m•2n=2mn，要求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比，只需得到m与n的关系，易证EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中运用勾股定理即可解决问题．

解答 解：（1）∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°；

（2）四边形FACD是平行四边形．
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠AEB=90°．
又∵∠FDE=90°，
∴∠AEB=∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四边形FACD是平行四边形；

（3）①连接GE，如图．
∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点．
∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，
∴∠FHI=∠FGE．
∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE=90°，
∴∠FHI=90°．
∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点，
∴DG=GE，
∴$\widehat{DG}$=$\widehat{GE}$，
∴∠1=∠2．
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴FD=FI；
②∵AC∥DF，∴∠3=∠6．
∵∠4=∠5，∠3=∠4，
∴∠5=∠6，∴EI=EA．
∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=n，AE=$\frac{1}{2}$AC=m，FD=AC=2m，
∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．
在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：
n²+（2m）²=（3m）²，
即n=$\sqrt{5}$m，
∴S_⊙O=π（$\frac{3m}{2}$）2=$\frac{9}{4}$πm²，S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•2m•2n=2mn=2$\sqrt{5}$m²，
∴S_⊙O：S_菱形ABCD=$\frac{9\sqrt{5}π}{40}$．

点评 本题主要考查了菱形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理、等角的余角相等、等角对等边、平行线的性质、勾股定理、圆及菱形的面积公式等知识，综合性强，证到IE=EA，进而得到EF=3m是解决第3（2）小题的关键．