Question

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，△CEF周长的最小值是5+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；当E、F分别为AC、BC中点时，EF取最小值，根据三角形的中位线的性质得到EF，于是得到结论．

解答 解：连接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
在△ADE与△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，
∵∠C=90°，AC=BC=5，
∴AB=5$\sqrt{2}$，
∴当，△CEF周长的最小时，EF取最小值，
∴E、F分别为AC、BC中点时，EF的值最小，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴△CEF周长的最小值=CE+CF+EF=AE+CE+EF=AC+EF=5+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：5+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形、直角三角形性质等知识，找到EF∥BC时取最小值是解题关键．