Question

5．如图，动点P在函数y=$\frac{16}{x}$（x＞0）的图象上移动，⊙P半径为2，A（3，0），B（6，0），点Q是⊙P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最小值是2$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 取点P（4，4），连接OP交⊙P于点Q′，连接BQ′，取BQ′的中点C′，连接AC′．因为OA=AB、CB=CQ，所以AC=$\frac{1}{2}$OQ，所以当OP最小时，OQ、AC最小，Q运动到Q′时，OQ最小，由此即可解决问题．

解答 解：取点P（4，4），连接OP交⊙P于点Q′，连接BQ′，取BQ′的中点C′，连接AC′，此时AC′最小．
设点P的坐标为（x，$\frac{16}{x}$），则OP=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{16}{x}）^{2}}$≥$\sqrt{2x•\frac{16}{x}}$=4$\sqrt{2}$，当x=$\frac{16}{x}$=4时，取等号．
∵A（3，0），B（6，0），点C是QB的中点，
∴OA=AB，CB=CQ，
∴AC=$\frac{1}{2}$OQ．
当Q运动到Q′时，OQ最小，
此时AC的最小值AC′=$\frac{1}{2}$OQ′=$\frac{1}{2}$（OP-PQ′）=2$\sqrt{2}$-1．
故答案为：2$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、完全平方公式、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是根据完全平方公式找出OP最小时点P的坐标并确定当AC最小时点Q的位置．