Question

19．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，∠BED=120°，猜想线段EA、EB、ED之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 结论：EB-ED=EF=$\sqrt{3}$EA．如图，在线段BE上截取一点F，使得∠EAF=120°，作AM⊥BE于M，BE、AD交于点O，只要证明△ABF≌△ADE，推出AE=AF，BF=ED，EF=$\sqrt{3}$AE，即可解决问题．

解答 结论：EB-ED=EF=$\sqrt{3}$EA．
理由：如图，在线段BE上截取一点F，使得∠EAF=120°，作AM⊥BE于M，BE、AD交于点O．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，BC∥AD，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=120°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAF=∠DAE，
∵∠ABF=180°-∠BAD-∠AOB，∠EDA=180°-∠DEO-∠DOE，∠BAO=∠DEO=120°，∠AOB=∠DOE，
∴∠ABF=∠ADE，
在△ABF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠ADE}\\{AB=AD}\\{∠BAF=∠DAE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，BF=ED，
∵AM⊥EF，
∴FM=ME，∠FAM=∠MAE=60°，
∴EF=2FM=2×AF•sin60°=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$EA
∴EB-ED=EF=$\sqrt{3}$EA．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．