Question

15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE
（1）求∠ECD的度数；
（2）若∠ACB为α，则∠ECD的度数能否用含α的式子来表示？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）设∠ADC=x，∠BEC=y．由AF垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得出AC=AD，由等边对等角得到∠ADC=∠ACD=x，同理∠BEC=∠BCE=y．在△ACD中，由三角形内角和定理得出2x+∠CAD=180°①，同理，2y+∠CBE=180°②，①+②，得2x+2y+∠CAD+∠CBE=360°③，而∠CAD+∠CBE=90°④，④代入③得出x+y=135°，再利用三角形内角和定理得出∠ECD=180°-（x+y）=45°；
（2）同（1）求解即可．

解答 解：（1）设∠ADC=x，∠BEC=y．
∵AF垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=x，
同理∠BEC=∠BCE=y．
在△ACD中，∵∠ADC+∠ACD+∠CAD=180°，
∴2x+∠CAD=180°①，
同理，2y+∠CBE=180°②，
①+②，得2x+2y+∠CAD+∠CBE=360°③，
∵∠CAD+∠CBE+∠ACB=180°，∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠CBE=90°④，
④代入③，得2x+2y+90°=360°，
∴x+y=135°，
∴∠ECD=180°-（x+y）=45°；

（2）由（1）可得2x+2y+∠CAD+∠CBE=360°，
∵∠CAD+∠CBE=180°-∠ACB=180°-α，
∴2x+2y+180°-α=360°，
∴x+y=90°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠ECD=180°-（x+y）=180°-（90°+$\frac{1}{2}$α）=90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，难度适中．