Question

9．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．
（1）求证：∠ABD=2∠CAB；
（2）若BF=5，sin∠F=$\frac{3}{5}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据等腰三角形性质和外角的性质得出∠2=2∠CAB，根据切线的性质得出OC⊥CF，即可证得OC∥DB，根据平行线的性质得出∠ABD=∠2，即可证得∠ABD=2∠CAB；
（2）连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥DE，即可证得AD∥CF，根据平行线的性质得出∠3=∠F，从而证得△FBE∽△FOC，根据三角形相似的性质求得半径，然后通过解直角三角形即可求得BD的长．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠1，
∴∠2=∠CAB+∠1=2∠CAB，
∵CF切⊙O于C，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥CF，
∵DB⊥CF，
∴OC∥DB，
∴∠ABD=∠2，
∴∠ABD=2∠CAB；

（2）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥DE，
∵DE⊥CF，
∴AD∥CF，
∴∠3=∠F，
在RT△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，sin∠F=$\frac{3}{5}$，
∴BE=BF•sin∠F=5×$\frac{3}{5}$=3，
∵OC∥BE，
∴△FBE∽△FOC，
∴$\frac{FB}{FO}$=$\frac{BE}{OC}$，
设⊙O的半径为r，则$\frac{5}{5+r}$=$\frac{3}{r}$，
解得r=$\frac{15}{2}$，
在RT△ABD中，∠ADB=90°，AB=2r=15，sin∠3=sin∠F=$\frac{3}{5}$，
∴BD=AB•sin∠3=15×$\frac{3}{5}$=9．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线是解题的关键．